TMV160/TMV191 Analys i flera variabler M+T, 2007 08 AMMANFATTNING. TEORIFRÅGOR. Kap 11.1. Vektorvärd funktion v(t). eriveringsregler, ats 1. Kap 11.3. Parametrisering av kurvor: r = r(t), a t b Tangent (hastighet): v = T = dr Fart: v = v. Acceleration: a = dv Båglängelement: = dr Båglängparametrisering: r = r(s), 0 s L Fart: v = T = dr = 1 Kap 11.4. Krökning. Endast sid 612 613. I båglängparametrisering: enhetstangenten ˆT = dr Krökning: κ(s) = d ˆT. Krökningsradie: ρ(s) = 1/κ(s). erivera 1 = ˆT 2 = ˆT ˆT, 0 = 2 ˆT(s) d ˆT d ˆT, så att en normal fås av N(s) = Enhetsnormalen: ˆN(s) = d ˆT ˆT / d Binormalen: ˆB(s) = ˆT(s) ˆN(s) Kap 11.5. Krökning i allmän parametrisering. Endast sid 619 och Exempel 2 sid 621. Teori: id 619. Härledning av v a = v 3 κ ˆB så att κ = v a /v 3 Teori: Exempel 2. Graf: y = f(x). Härledning av κ(x) = Kap 12.1. Visualisering. Graf: z = f(x, y) Nivåkurvor: f(x, y) = Nivåytor: f(x, y, z) = Matlab: meshgrid, mesh, surf, slice Kap 12.2. efinition av gränsvärde. f(x, y) = L lim (x,y) (a,b) dvs f(x, y) L då avståndet (x a) 2 + (y b) 2 0. Kunna avgöra om gränsvärde existerar i enkla fall. efinition av kontinuitet. f (x) (1 + f (x) 2 ) 3/2 Kap 12.3. efinition av partiell derivata. Graf: z = f(x, y). Beräkna tangenter, normalvektor och tangentplanets ekvation. (sid 654) Kap 12.4. Partiella derivator av högre ordning. Kunna ats 1 (Blandade derivator är lika) utan bevis. Exempel 3 (Laplaces ekvation). Exempel 4 (Vågekvationen). Kap 12.5. Kedjeregeln. Endast sid 663 665 och Exempel 10, sid 670. ate: 2008 05 22, tig Larsson, Matematiska vetenskaper, halmers tekniska högskola. 1
2 AMMANFATTNING. TEORIFRÅGOR. Kap 12.6. eriverbarhet. Linjäriseringen: L(x, y) = f(a, b) + f 1(a, b)h + f 2(a, b)k, h = x a, k = y b Funktionen f(x, y) är deriverbar i (a, b) om linjäriseringen är en bra approximation till f(x, y) nära (a, b). Mera precist (efinition 5): om f(a + h, b + k) f(a, b) f lim 1(a, b)h f 2(a, b)k = 0 h2 +k 2 0 h2 + k 2 Ej ats 3. ats 4 (Om partiella derivatorna kontinuerliga i omgivning till (a, b) så är f deriverbar i (a, b).) Utan bevis. ats 5 (Kedjeregeln.) Utan bevis. Anteckningar Fö 2.2. Linjärisering. Jacobimatris. Newtons metod. Kunna skriva dessa saker på matrisform. Kedjeregeln på matrisform. Teori: Härledning av Newtons metod med hjälp av linjärisering. Kunna skriva ned algoritmen med Matlab-beteckningar: function x = newton(f,x0,tol) x = x0; h = tol + 1; while norm(h)>tol A = jacobi(f,x); b = -f(x); h = A\b; x = x + h; end % evaluate the Jacobian A=f(x) % evaluate the residual b=-f(x) % solve the linearized equation % update Kap 12.7. Gradient och riktningsderivata. (ej Rates perceived... sid 685) Nabla-operatorn: = x i + y j + z k Teori: ats 6 (Gradienten är normalvektor till nivåkurva.) Med bevis. efinition av riktningsderivata: u f(a, b) = d f(a + tu, b + tv) t=0. Teori: ats 7 ( u f(a, b) = u f(a, b)) Med bevis. Tolkning av gradienten som den riktning dit f ökar mest. Kap 12.9. Taylors formel. Endast Taylor-polynom av grad 2, sid 699 700. P 2 (x, y) = f(a, b) + f x(a, b)h + f y(a, b)k + 1 2 = f(a, b) + [ f x(a, b) f y(a, b) ] [ ] h k (f + 1 2 xx(a, b)h 2 + 2f xy(a, b)hk + f yy(a, b)k 2 ) [ ] [ [ ] f h k xx(a, b) f xy(a, h f xy(a, b) f yy(a, b)] k med Jacobi-matrisen (gradientvektorn) och Hesse-matrisen f (a, b) = f(a, b) = [ f x(a, b) f y(a, b) ] [ ] f, f (a, b) = 2 f(a, b) = xx(a, b) f xy(a, b) f xy(a, b) f yy(a, b) Kap 13.1. Extremvärdesproblem. ats 1 (Nödvändiga villkor för extremvärde.) Utan bevis. ats 2 (Tillräckliga villkor för extremvärde.) Utan bevis. ats 3 (Andra-derivata-testet.) Utan bevis. Kunna undersöka funktion f : R N R med avseende på extrempunkter (max, min, sadelpunkter) med hjälp av ats 1 och ats 3. Använd ej Remark sid 712! et är en ointressant handräkningsmetod som bara fungerar då N = 2. Godkänns ej på tentamen.
AMMANFATTNING. TEORIFRÅGOR. 3 Kap 14.1. ubbelintegralen. Kunna definiera dubbelintegralen Kunna integralens egenskaper sid 758 utan bevis. f(x, y) da som gränsvärde av Riemann-summa. Kap 14.2. Kunna beräkna dubbelintegral med upprepad integration om området är enkelt i y-led eller enkelt i x-led. Kap 14.3. Generaliserad dubbelintegral. Medelvärdessatsen. Integralen f(x, y) da är generaliserad om är obegränsad eller om f är obegränsad i. Om f(x, y) 0 i så är integralen antingen konvergent eller så divergerar den mot oändligheten. å kan man avgöra om integralen är konvergent eller divergent genom upprepad integration. ats 3 (Medelvärdessatsen.) Utan bevis. Kap 14.4. Polära koordinater. Viktigt att kunna räkna med polära koordinater. Areaelementet: da = r dr dθ { x = x(u, v) Allmän variabeltransformation: y = y(u, v) (x, y) Areaelementet: da = du dv (u, v) obs: det är absolutbeloppet av Jacobi-determinanten (determinanten av Jacobi-matrisen) Kap 14.5. Trippelintegralen f(x, y, z) dv Kan beräknas med upprepad integration om området är enkelt. Kap 14.6. Variabeltransformation. x = x(u, v, w) Allmän variabeltransformation: y = y(u, v, w) z = z(u, v, w) (x, y, z) Volymselementet: dv = du dv dw (u, v, w) obs: absolutbeloppet av Jacobi-determinanten (determinanten av Jacobi-matrisen) ylinderkoordinater. Viktigt! färiska koordinater. Viktigt! Kap 14.7. Endast Moments and entres of Mass sid 798 801. Anteckningar Fö 4.2 FEM1. Randvärdesproblem i 1-. Finita elementmetoden. (a(x)u(x)) = f(x), för x I = (K, L), a(x) n u(x) + k(x)(u(x) u A ) = g(x), för x = K, x = L. Känna igen och känna betydelsen av alla termer i randvärdesproblemet för värmeledning och mekanik (ej T). Kunna härleda den svaga formuleringen för problem av denna typ. Kunna lösa enkla specialfall genom upprepad integration. Teori: Kunna härleda finita elementmetoden. Kap 15.1. Vektorfält. kalärt fält. Fältlinjer. Kap 15.2. Konservativt fält om F = φ. Kap 15.3. Kurvintegral. Parametrisera kurvan, sedan Beror ej på valet av parametrisering. f(x, y, z) = a f(r(t)) dr.
4 AMMANFATTNING. TEORIFRÅGOR. Kap 15.3. Tangentkurvintegral. Integrera tangentkomponenten av vektorfält: F dr = F ˆT dr = F(r(t)) a dr dr = Tangentbåglängelementet: dr = ˆT = dr. ats 1 (Oberoende av vägen.) Utan bevis. Kap 15.5. Ytintegral. Endast sid 832 837. Parametrisera ytan, r = r(u, v) dvs x = x(u, v) y = y(u, v) a u b, c v d. z = z(u, v) Koordinatkurvor: r = r(u, v 0 ), a u b, r = r(u 0, v), c v d. Tangenter: r(u 0, v 0 ), r(u 0, v 0 ) u v En normalvektor: N = r(u 0, v 0 ) r(u 0, v 0 ) u v Areaelementet: d = r u r du dv v Ytintegralen: f d = f(r(u, v)) r u r du dv v Teori: Graf: z = f(x, y). Härled ytelementet d = a F(r(t)) dr. 1 + f x(x, y) 2 + f y(x, y) 2 dx dy Kunna parametrisera ytor med hjälp av cylinderkoordinater och sfäriska koordinater. Kap 15.6. Flödesintegral (normalytintegral). Orienterad yta: har enhetsnormalvektorfält ˆN som varierar kontinuerligt över. Integrera normalkomponenten av vektorfält: F d = F ˆN d. Kap 16.1. iv, grad, rot. efinition av dessa deriveringsoperatorer. Kap 16.2. eriveringsregler för div, grad, rot. Teori: ats 3. Bevis av a,b,c,d,g,h. ats 4 utan bevis. Anteckningar Fö 6.2 FEM2. Randvärdesproblem i flera variabler. Finita elementmetoden. Teori: Härled följande partialintegrationsformel i flera variabler. Fφ dv = ˆN Fφ d F φ dv Teori: Härled värmeledningsekvationen: (a u) = f i. Känna igen och känna betydelsen av alla termer i randvärdesproblemet för värmeledning: (a u) = f i, a ˆNu + k(u u A ) = g på 2 (Neumann/Robin), u = u A på 1 (irichlet), Kunna härleda den svaga formuleringen för problem av denna typ.
AMMANFATTNING. TEORIFRÅGOR. 5 Kap 16.3. Greens formel i planet. Teori: ats 6. Bevisa Greens formel i rektangel. Teori: ats 7. Formulera och bevisa divergenssatsen i planet. Kap 16.4. Gauss divergenssats i rummet utan bevis. Mycket viktig! Kap 16.5. tokes sats utan bevis. Mindre viktig. Kap 16.6. Endast härledning av kontinuitetsekvationen sid 879 878.